通解公式,一阶线性微分方程的通解公式?

形如通解

通解公式,一阶线性微分方程的通解公式?

F(x, y, y’) = 0 ①

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的方程,被称为一阶,其中 x 是自变量,y 是 x 的未知函数,y’ 是 y 的导函数。

通解公式,一阶线性微分方程的通解公式?

如果 函数 y = φ(x) 使得,

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F(x, φ(x), φ'(x)) = 0

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则称 该函数 为 ① 的一个解。

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将 y’ 从 ① 中 提取出来,表示为:

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y’ = f(x, y)

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被称为 解出导函数的微分方程

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进而,如果 f(x, y) = p(x)y + q(x),则 方程 变成:

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y’ = p(x)y + q(x) ②

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被称为 一阶微分方程。令 q(x) = 0 ,得到方程:

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y’ = p(x)y ②’

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被称为 一阶齐次线性微分方程,而 ② 被称为 一阶非齐次线性微分方程。

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为什么 ②’ 叫做 齐次,而 ② 不是 呢?

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齐次:多项式各项 的未知元 次数 相同。

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因为 ②’ 各项 y’ 和 p(x)y 中,未知函数 y 的 次数 都是 1,即,各项未知元次数平齐;而 ② 的项 q(x) = q(x)y⁰ 中 y 的次数 是 0,不同与 另外 两项 中 y 的次数 1 ,即,各项未知元次数不平齐。

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对于,一阶齐次线性微分方程,有,

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等式两边关于 x 积分,有,

再令,c = ±eᒼ ,最终得到 齐次方程通解:

由 常数 C 是任意实数,得到 常数 c 是不等 0 的 任意实数,而 c = 0 时,y = 0 ,因 y’ = 0 = p(x) 0 = p(x)y, 是方程的 解,故 常数 c 同样为 任意实数。

将 齐次方程通解 中的 常数 c 变异为 x 的函数 c(x),得到:

再代入 非齐次方程 ② 有,

结果,代入前面等式, 再将 C 改为 c,最终得到 非齐次方程通解:

以上,求解 非齐次方程 通解 的方法,称为 常数变异法。

有些 微分方程 虽然表面上看,不是 一阶线性微分方程,但其实 都是 ② 中 y 被换元 的结果。例如,令,

代入 ② 有,

令,P(x) = p(x) / (1- n), Q(x) = q(x) / (1-n),得到:

这被称为,伯努利微分方程。我们只需要求出 对应的 一阶线性微分方程:

的通解:

就可以得到 伯努利微分方程 的通解:

解出导函数的微分方程 中 如果 令 f(x, y) = -P(x, y) / Q(x, y),并将 y’ 表示为 微分形式 dy/dx 则方程变形为:

dy/dx = -P(x, y) / Q(x, y)

即,

P(x, y) dx + Q(x,y) dy = 0 ③

若,存在 函数 u(x, y) 使得,

P(x, y) = ∂u(x, y) /∂x , Q(x, y) = ∂u(x, y) /∂y

则,根据 全微分,有,

d u(x, y) = (∂u(x, y)/∂x) dx + (∂u(x, y) /∂y) d y = P(x, y) dx + Q(x,y) dy = 0

等式两边 关于 u 积分 得到:

∫ d u(x, y) = ∫ 0 d u

即,

u(x, y) = c

规定 u 有 连续偏导数,则 根据隐函数定理,解 y = φ(x) 存在。

由前面的要求,有:

∂P(x, y)/∂y = ∂²u(x, y) /∂x∂y = ∂²u(x, y) /∂y∂x = Q(x, y)/∂x

即,

∂P/∂y = ∂Q/∂x

称满足上面 恰当条件的 微分方程 ③ 为 恰当微分方程。

有时候,微分方程 ③ 不满足 恰当条件,我们可以 在等式 两边 乘以 积分因子 μ(x, y),得到:

μ(x, y)P(x, y) dx + μ(x, y)Q(x,y) dy = 0 ③’

这时 恰当条件 变为:

∂(μP)/∂y = ∂(μQ)/∂x

P∂(μ)/∂y + μ∂P/∂y = Q∂μ/∂x + μ∂Q/∂y

整理,得到:

P∂(μ)/∂y – Q∂μ/∂x = (∂Q/∂y – ∂P/∂y)μ

这是一个偏微分方程,从中 解出 μ 再代回 ③’ 寻找 全微分 求解。

一阶线性微分方程 ② 可以变形为:

-(p(x)y + q(x)) dx + dy = 0

令,P(x, y) = -(p(x)y + q(x)), Q(x, y) = 1 就变成 了 ③ 的形式,但,

∂P/∂y = -p(x) ≠ 0 = ∂Q/∂x

于是,我们需要添加 积分因子,

μ = e^{-∫ p(x) d x}

这样以来,需要求解的方程为,

-e^{-∫ p(x) d x}(p(x)y + q(x)) dx + e^{-∫ p(x) d x}dy = 0

满足,条件:

∂(μP)/∂y = -e^{-∫ p(x) d x}p(x) = ∂(μQ)/∂x

又,因为,

∂u/∂x = -q(x) e^{-∫ p(x) d x} – p(x)e^{-∫ p(x) dx}y = -e^{-∫ p(x) d x}(p(x)y + q(x))

∂u/∂y = e^{-∫ p(x) dx}

所以 u(x, y) 就是 需要求解的方程 的 解。从 u(x, y) 其中 解出 y 与前面的 结果完全一致。

一阶非齐次线性方程的通解,可以变形为:

其中, ỹ 就是 对应 齐次方程的通解,而 y₀ 为 一个非齐次方程 的特解,也就是说:

一阶非齐次线性方程的通解 为 非齐次的一个特解 与 齐次的通解 之和。

注:可以证明,这个结论,对于高阶非齐次线性方程 同样适用。

再回看前面 常数变异法 发现 中间步骤,

如果,令,

则,得到方程 ④:

从中,可以求得 c'(x),于是,一阶非齐次线性方程的通解为:

其中,ỹ₀ 是一阶齐次线性方程的特解。

也是时说,我们只要求得 一阶齐次线性方程的一个特解 ỹ₀,然后 从 方程 ④’ 求出 待定函数 c'(x) 就可以 一阶非齐次线性方程的通解了。通解 ỹ = cỹ₀ 其实 是 ỹ₀ 的线性组合。

也是时说,我们只要求得 一阶齐次线性方程的一个特解 ỹ₀,然后 从 方程 ④’ 求出 待定函数 c'(x) 就可以 一阶非齐次线性方程的通解了。

注:这个求解过程,可以推广到 高阶非齐次线性方程。

例如,当 一阶线性非齐次方程 中 p(x) = -a 和 q(x) = b 是常数时,相应方程,

y’ + ay = b

被称为 一阶常系数微分方程,其 对应齐次常系数微分方程,

y’ + ay = 0

的特解为

ỹ₀ = e⁻ᵃˣ

由方程 ④ ,求得:

c'(x) = b/ỹ₀

于是,最终得到 一阶常系数微分方程 的通解为:

y = ỹ₀∫ b/ỹ₀ dx + cỹ₀ = e⁻ᵃˣ∫ beᵃˣ dx + ce⁻ᵃˣ = ce⁻ᵃˣ + b/a

一阶线性微分方程 既是 一阶微分方程 又是 线性微分方程,因此从中 可以看出 两种理论的 影子,由于篇幅有限,也害怕跑题太远,这里并没有 展开 这些精彩的理论,以后有机会再说!

(补充:2020/4/18)

为什么 ② 被称为 线性呢?

线性来自于,② 的齐次方程 对应的 算子:

F(y) = y’ – p(x)y

可以保持 函数的 线性运算,即,

保持加法: F(y + z = (y + z)’ – p(x)(y + z) = y’ + z’ – p(x)y – p(x)z = y’ – p(x)y + z’ – p(x)z = F(y) + F(z)

保持数乘:F(cy) = (cy)’ – p(x)(cy) = cy’ – cp(x)y = c(y’ – p(x)y) = cF(y)

其中,y, z 都是任意可微函数,c 是常数。

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