设正态分布密度是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]
其实就是均值是u，方差是t^2正态分布密度函数。
于是：∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t（*）
积分区域是从负无穷到正无穷，下面出现的积分也都是这个区域。
（1）求均值
对（*）式两边对u求导：
∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0
约去常数，再两边同乘以1/(√2π)t得：
∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0
把(u-x)拆开，再移项：
∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx
也就是
∫x*f(x)dx=u*1=u
这样就正好凑出了均值的定义式，证明了均值就是u。
(2)方差
过程和求均值是差不多的，我就稍微略写一点了。
对(*)式两边对t求导：
∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π
移项：
∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2
也就是
∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2
正好凑出了方差的定义式，从而结论得证。
正态分布密度函数公式：f(x)=exp{-(x-μ)²/2σ²}/[√(2π)σ]。计算时，先算出平均值和标准差μ、σ，代入正态分布密度函数表达式，给定x值,即可算出f值。
正态分布的概率密度函数
1正态分布密度函数公式
正态分布密度函数公式
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ=0,σ=1时的正态分布是标准正态分布。
具体会用到excel的正态分布函数Normdist（）
输入数据。
1.在单元格A1输入 。
2.选定单元格A1：A121。
3.选取“编辑”菜单下的“填充”—“序列”。
在“序列产生在”框，选定“列”选项；
在“类型”框，选定“等差序列”选项；
在“步长值”框，输入0.05（可以根据自己的需要输入步长值）；
在“终止值”框，输入3。
4.单击“确定”。
5.在单元格B1中输入“=Normdist(a1,0,1,0) ”，回车得0.004432 ，即为 x=-3 时的标准正态分布的概率密度函数值。
6.把鼠标放在单元格B1上的单元格填充柄上，当鼠标变成十字时，向下拖曳鼠标至B121。
这样就可以得出一张正态分布表了。
连续型随机变量某一个点的概率为0。连续型的随机变量取值在任意一点的概率都是0。作为推论，连续型随机变量在区间上取值的概率与这个区间是开区间还是闭区间无关。要注意的是，概率P{x=a}=0，但{X=a}并不是不可能事件。如果一个函数和X的概率密度函数取值不同的点只有有限个、可数无限个或者相对于整个实数轴来说测度为0（是一个零测集），那么这个函数也可以是X的概率密度函数。扩展资料：函数的概率密度函数：1、对于一个取值在区间[a,b]上的均匀分布函数它的概率密度函数：也就是说，当x不在区间[a,b]上的时候，函数值等于0；而在区间[a,b]上的时候，函数值等于这个函数2、正态分布是重要的概率分布。它的概率密度函数是：随着参数μ和σ变化，概率分布也产生变化。