超模君先说一下公式怎么来的，再简单讲讲它的现实应用lnx的泰勒。
泰勒公式根据牛顿逼近法就可以得到从1阶一直可以推导到N阶：
假设f1(x)=f(x)-f(a)
由牛顿逼近法有f1(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a)^2
所以f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+o(x-a)^2
同理，假设 f2(x)=f(x)-f(a)-f'(x)(x-a)
两边求导,f2′(x)=f，(x)-f，(x)-f”(x)(x-a)=-f”(a)(x-a)
再求不定积分f2(x)=-(1/2)f”(a)(x-a)^2+C,C就是那个高阶无穷小(需要证明）所以f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f”(a)(x-a)A2+o(x-a)^3依次类推，最后就有了泰勒公式。
另一种证明过程，先写出来g(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+…+an(x-a)^n，然后从等式序列，g(a)=f(a),g'(a)=f'(a),…g…”(a)=f…”(a)……就得到所有的a0-an的泰勒展示系数了。
泰勒级数展开函数，能做什么？对于特定的x取值，可以求它附近的函数。y=xA100展开以后可以求x=1附近的0.9999的100次方等于多少。计算过程和结果不但更直观，而且可以通过舍弃一些高阶项的方法来避免不必要的精度计算，简化了计算，节省了计算时间(如果是计算机计算复杂数字的话)。
在图像处理的计算机软件中，经常要用到开方和幂次计算，而QuakeIII的源代码中就对于此类的计算做了优化，采用泰勒技术展开和保留基本项的办法，比纯粹的此类运算快了4倍以上。
对于曲线交点的问题，用方程求解的办法有时候找不到答案，方程太复杂解不出来，那么用泰勒级数的办法求这个交点，那么交点的精度要提高，相当于泰勒级数的保留项要增加，而这个过程对应于牛顿–莱布尼茨的迭代过程，曲线交点的解在精度要求确定的情况下，有了被求出的可能。
泰勒技术用来求解高方程问题，是一种通用的方法，而不是像中学时代那样一种问题一种解决办法，高等数学之所以成为”高等”，就是它足够抽象，抽象到外延无穷大。
泰勒级数展开式是泰勒在1715年发表的，对于展开式的无限延展，他并没有考虑到数学的收敛性问题。直到40年后，泰勒级数被应用到了欧拉和拉格朗的研究工作中，泰勒级数的重要性才引起数学 领域的瞩目。泰勒级数的定义是这样描述的：如果函数在点的某一领域 内具有直到（+1)阶导数，那么就可以得到该领域内的n阶泰勒公式，并得到拉格朗日余项。泰勒级数就是指函数的展开式。泰勒级数展开式说明，各种不同的函数，无论它有多么复杂，只 要满足一定的条件，都能够表示成像泰勒级数那样的统一形式。也就 是说，这种排列整齐的无穷层次结构具有普遍性的意义。而且当展开 式无穷延伸的时候，它的项数越多，所得的e值也就越精确。
1、tanx泰勒展开式推导过程是：tanx=x+x^3/3+2x^5/15+17x^7/315+62x^9/2835+…+[2^(2n)*(2^(2n)-1)*B(2n-1)*x^(2n-1)]/(2n)!+……(|x|2、定义：数学中， 泰勒公式是一个用 函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够 平滑的话，在已知函数在某一点的各阶 导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
3、命名于：泰勒公式得名于英国数学家布鲁克· 泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。
的泰勒展开式：rccosx=-1/√（1-x^2）f。泰勒公式，应用于数学、物理领域，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。