利用阿贝尔定理：
1、如果幂级数在点x0处（x0不等于0）收敛，则对于适合不等式|x|<|x0|的一切x使这幂级数绝对收敛。
2、反之，如果幂级数在点x1处发散，则对于适合不等式|x|>|x1|的一切x使这幂级数发散。 如果幂级数不是仅在x0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，那么必有一个确定的正数R存在，使得 （1）当|x|小于R时，幂级数绝对收敛； （3）当|x|大于R时，幂级数发散； （3）当|x|等于R时，幂级数可能收敛也可能发散。
1. 先说明一些必要的概念 这个应该叫做数列 的级数（准确地来说是常数项无穷级数），其中 称为此级数的通项（或叫一般项），而记你写的 为上述级数的部分和，它又可以构成一个新的数列——部分和数列。
2.部分和数列 收敛则称级数 收敛，反之即发散。值得注意的是(针对题主问题描述里的疑问)，级数通项 的极限为零是是级数 收敛的必要但不充分条件（证明比较简单，用定义即可，此处略过），级数 收敛则一定有 ，反之（即逆命题）却不一定成立，这个结论的直接推论（逆否命题）是 则一定有 发散。
3.下面是对级数发散的证明（由于已经有回答利用常见不等式 放缩证明了，在此用的便是与之类似的放缩法，不过是反证）
证明：我们先假设部分和数列收敛即 存在，且设为 ，故
又有
两端同时减去 得
所以 ，这显然不成立，故假设不真
所以部分和数列发散
证毕。
级数收敛的必要条件是通项an趋于0。
一般验证一个级数是否收敛，首先看通项an是否趋于0，若不满足这条则可以判断该级数发散。
如果这条满足，并不能保证级数收敛。需要继续验证别的条件，例如用比较判别法（和一个知道的收敛级数比较）。例如an=1/n，通项趋于0，但是发散。
扩展资料：
收敛级数的基本性质主要有：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变；两个收敛级数逐项相加或逐项相减之后仍为收敛级数；在级数前面加上有限项，不会改变级数的收敛性；原级数收敛，对此级数的项任意加括号后所得的级数依然收敛。
级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：
（1）一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；
（2）另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。
参考资料：搜狗百科——收敛级数
正项级数an收敛an^2也收敛。正项级数是一种数学用语。在级数理论中，正项级数是非常重要的一种，对一般级数的研究有时可以通过对正项级数的研究来获得结果，就像非负函数广义积分和一般广义积分的关系一样。
所谓正项级数是这样一类级数：级数的每一项都是非负的。正项级数收敛性的判别方法主要包括：利用部分和数列判别法、比较原则、比式判别法、根式判别法、积分判别法以及拉贝判别法等。另外若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数。