x²的求解如下:
∫xsecx²dx=1/2∫secx²dx²
1/2∫1/cosx²dx²
令t=x²,则1/2∫1/cosx²dx²=1/2∫1/costdt
=1/2∫cost/cos²tdt
=1/2∫1/(1-sin²t)dsint
=1/2∫1/(1+sint)+1/(1-sint)dsint
=1/2(ln|1+sint|-ln|1-sint|)+C
=1/2ln(|1+sint|/|1-sint|)+C
=1/2ln√[(1+sint)/(1-sint)]²+C
=1/2ln|(1+sint)/cost|+C
=1/2ln|sect+tant|+C
将t=x²代入得
∫xsecx²dx=1/2ln|secx²+tanx²|+C
有好几种方法的secx的不定积分：最常用62616964757a686964616fe78988e69d8331333365656632的是∫ secx dx = ln|secx + tanx| + C
第一种最快：
∫ secx dx
= ∫ secx • (secx + tanx)/(secx + tanx) dx
= ∫ (secxtanx + sec²x)/(secx + tanx) dx
= ∫ d(secx + tanx)/(secx + tanx)
= ln|secx + tanx| + C
第二种：
∫ secx dx
= ∫ 1/cosx dx = ∫ cosx/cos²x dx = ∫ dsinx/(1 – sin²x)
= (1/2)∫ [(1 – sinx) + (1 + sinx)]/[(1 – sinx)(1 + sinx)] dsinx
= (1/2)∫ [1/(1 + sinx) + 1/(1 – sinx)] dsinx
= (1/2)[ln|1 + sinx| – ln|1 – sinx|] + C
= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 – sinx)| + C
= ln| √(1 + sinx)/√(1 – sinx) | + C
= ln| [√(1 + sinx)]²/√[(1 – sinx)(1 + sinx)] | + C
= ln| (1 + sinx)/cosx | + C
= ln|secx + tanx| + C
第三种：
∫ secx dx = ∫ 1/cosx dx
= ∫ 1/sin(x + π/2) dx,或者化为1/sin(π/2 – x)
= ∫ 1/[2sin(x/2 + π/4)cos(x/2 + π/4)] dx,分子分母各除以cos²(x/2 + π/4)
= ∫ sec²(x/2 + π/4)/tan(x/2 + π/4) d(x/2)
= ∫ 1/tan(x/2 + π/4) d[tan(x/2 + π/4)]
= ln|tan(x/2 + π/4)| + C
他们的答案形式可以互相转化的.
解:secx=1/cosx
∫secxdx=∫1/cosxdx=∫1/(cosx的平方)dsinx
=∫1/(1-sinx的平方)dsinx
令sinx=t代人可得:
原式=∫1/(1-t^2)dt=1/2∫[1/(1-t)+1/(1+t)]dt
=1/2∫1/(1-t)dt+1/2∫1/(1+t)dt
=-1/2ln(1-t)+1/2ln(1+t)+C
将t=sinx代人可得
原式=[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)]/2+C