莱布尼茨规则莱布尼茨：牛顿（Newton）-莱布尼茨（Leibniz）公式，通常也被称为基本公式，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任一个原函数在区间[a,b]上的增量。这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算手续。原函数，导数和微分之间的关系：从a到e是连续的，F(x)是f(x)一个原函数，从a到b增加了F'(x)*dx,从b到c增加了F'(x)*dx,这时从a到c就增加了F'(x)*dx+F'(x)*dx，以此类推，那么函数f(x)的积分就是原函数F(x)的上限e对应的F(e)减去下限a对应的F(a)的线段长度
莱布尼茨公式:一般的，如果函数u=u(x)与函数v=v(x)在点x处都具有n阶导数，那么此时有也可记为推导过程如果存在函数u=u(x)与v=v(x)，且它们在点x处都具有n阶导数，那么显而易见的，u(x) ± v(x) 在x处也具有n阶导数，且 (u±v)(n) = u(n)± v(n)至于u(x) × v(x) 的n阶导数则较为复杂，按照基本求导法则和公式，可以得到：(uv)’ = u’v + uv'(uv)” = u”v + 2u’v’ + uv”(uv)”’ = u”’v + 3u”v’ + 3u’v” + uv”’…………
对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：
b(上限)∫a（下限）f(x)dx
现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数：
Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(x)dx
但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的.为了只表示积分上限的变动,我们把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了：
Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt
接下来我们就来研究这个函数Φ(x）的性质：
1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt,则Φ’(x)=f(x).
：让函数Φ(x)获得增量Δx,则对应的函数增量
ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt
显然,x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt
而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x与x+Δx之间,可由定积分中的中值定理推得,
也可自己画个图,几何意义是非常清楚的.)
当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时,ξ趋向于x,f(ξ)趋向于f(x),故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)
可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ’(x)=f(x).
2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a）,F（x）是f(x)的原函数.
证明：我们已证得Φ’(x)=f(x),故Φ(x）+C=F（x）
但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a],故面积为0）,所以F（a）=C
于是有Φ(x）+F（a）=F（x）,当x=b时,Φ(b)=F（b)-F(a),
而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt,所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)
把t再写成x,就变成了开头的公式,该公式就是牛顿-莱布尼茨公式.
牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式， [2] 1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。 因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。