有严格的公理化体系量子力学基本原理，入门的教材一般都采用薛定谔表象下的公理体系，不过我更习惯用下面建立在希尔伯特空间上的公理体系，觉得更基本一些，在高等量子力学和量子信息课程中一般比较倾向用这套公理体系：
1、态叠加公理：一个量子态可以用希尔伯特空间中的一个矢量来表示，两个量子态正交就是代表希尔伯特空间中两个矢量相互垂直。两个量子态的叠加态就是希尔伯特空间中两个矢量的合成。每个量子态都可以分解为一组正交的希尔伯特空间矢量，称为基矢。不同量子系统组成的总希尔伯特空间为每个量子系统的希尔伯特空间相乘。
2、态演化公理：量子态随时间的演化符合薛定谔方程。在希尔伯特空间中可以表现为矢量随时间旋转。
3、可观测量公理：物理上的可观测量都可以表现为厄米算符矩阵，作用在希尔伯特空间上会得到一组相互正交的本征值。
4、测量公理（也称测量问题）：物理量的测量结果只能为其本征值，对应量子态的本征态。测量概率由量子态的投影系数决定（玻恩原理）。
回到薛定谔表象，那么第1个态叠加公理可以等同于波函数公理：粒子在坐标空间中表现为波函数（实际上波函数为坐标算符本征态的叠加态，对应的希尔伯特空间矢量为坐标空间的每个点）。第2个态演化公理等同于波函数演化公理：波函数随时间的演化符合薛定谔方程。第4个测量公理中的玻恩原理等同为：波函数的模平方表现为测量到粒子的概率。
很多也把海森堡不确定原理列为公理之一，实际上海森堡不确定原理是能够从以上公理推导出的一个定理。一般的量子力学教材都能找到薛定谔表象下的推导过程。
量子力学的力体什么地方？
我们都有过这样的经历：坐车的时候，司机一踩油门，你的背后就传来一股推力。这是加速度产生的推背感。按我们通常的理解，是汽车的座椅靠背传导了一股推力，但这种推背感到底是怎样产生的？这个力的本质是什么呢？首先，力是一个宏观展现的概念。我们日常生活中感受到的力，大都是复合感受。这就好比一束太阳光，表面上看是白色，我们拿三棱镜一分解就发现，其实存在好几种颜色。量子力学就相当于这个三棱镜。
我们用量子力学把这种推背感分解以后，就会得到三种不同的排斥力。虽然有三种，但它们对你感受到的排斥力的贡献，是不一样的。第一种是静电排斥力。这个很好理解，椅背里有原子核，有电子；原子核带正电，电子带负电。正电和正电之间会相互排斥，负电和负电之间也会相互排斥。但这不是排斥力最主要的来源。第二种是量子力学的不确定性原理。你的身体挤压椅背上的原子，想让每个原子都变小一点儿，就会感到一种排斥力。但这也不是排斥力最主要的来源。贡献最大的是第三种，它来自量子力学的另一种原理，叫泡利不相容原理。提出这个原理的物理学家叫泡利。“不相容”很好理解，意思是说，我占了这个地方你就不能占了，我容不下你。你的身体在往后靠的时候，原子挤在一起，一个原子的电子就有可能被挤到另一个原子那里。但是原来原子的电子占满了本来的地方，你要新加进来一个电子，就会感到一种排斥力。
有些科普书会把这种力叫作“简并力”。这才是推背感最主要的来源。按量子力学理论，上述的几种力再往下分解，最后会归结于四种基本相互作用。哪么，什么叫基本相互作用呢？ 最底层不可还原的就是基本相互作用。
什么叫相互作用。很多科普书说，相互作用就像两个人在扔球。我扔球的时候，向后一仰。你接住球以后，也向后一仰。如果有个眼神不好的人站在远处看，他看不到球，就会以为，我隔空朝你施加了一个力，你朝我施加了一个反作用力。所以，粒子就是通过朝其他粒子扔球来施加作用力的。这里说的扔球和接球的过程，都属于相互作用。这个比喻很巧妙，但有个地方它没有说清楚。就是这个球，是一个粒子，按量子力学，它也具有波粒二象性。所以，我们扔出去的其实是一朵粒子云。而且别忘了，我和你也是粒子，所以我们俩也是两朵云。如果你把自己缩小到量子尺度，就会发现两个粒子之间的相互作用，本质上就是两朵云，在不断发出和吸收第三朵云。那么这第三朵云是什么呢？有的云可以拆分，我们就继续往下拆。当我们把所有的云拆到底层，不能继续拆分时，就会发现只剩下三种不同的云，分别对应三种不同的基本相互作用。按照从强到弱的顺序，排第一是的强相互作用，它一共会扔八种不同的云，这些云都叫作胶子。有了它，原子核里的质子、中子才能稳定地存在。强相互作用的作用距离很短，只在原子核内起作用，出了原子核就没效果了。
所以我们平时感觉不到。排第二的是电磁相互作用，它扔的云我们都应该很熟悉了，叫光子，是物理学家总拿它做实验的那个光子。它贡献了我们平时听说的化学键、分子间作用力，以及各种宏观世界的力，比如表面张力，静电力，磁力等等。电磁力的作用距离很远，我们平时经常感觉到。排第三的是弱相互作用，它会扔三种云，分别叫W+，W-和Z0玻色子。弱相互作用也只在原子核内有效，而且强度很弱，似乎没有什么存在感。但其实，弱相互作用很重要。
这三种相互作用加上万有引力，就是世界的四大基本相互作用。但量子力学在说到基本相互作用时，只能解释清楚其中的三个。就目前来说，万有引力还是广义相对论负责解释的，而量子力学和广义相对论这两套理论，还没有统一。
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