f(0) = 0,
f'(x) = e^(-x^2) = ∑<n=0,∞> (-x^2)^n/n! = ∑<n=0,∞> (-1)^n x^(2n)/n!
f(x) = ∫<0, x>f'(t)dt + f(0) = ∫<0, x>∑<n=0,∞> (-1)^n x^(2n)/n!
= ∑<n=0,∞> (-1)^n x^(2n+1)/[(2n+1)n!], x ∈ R
令y’=p，则y”=pdp/dy
代入方程得：pdp/dy+p^2=1
pdp/(1-p^2)=dy
d(-p^2)/(1-p^2)=-2dy
积分：ln|1-p^2|=-2y+C1
即1-p^2=Ce^(-2y)
代入y(0)=0, p(0)=0,得：C=1
故p^2=1-e^(-2y)
dy/√[1-e^(-2y)]=±dx
记t=√(1-e^(-2y)), 则y=-0.5ln(1-t^2), dy=t/(1-t^2)dt
上式化为：
dt/(1-t^2)=±dx
dt*[1/(1-t)+1/(1+t)]=±2dx
积分：ln|(1+t)/(1-t)|=±2x+C2
(1+t)/(1-t)=Ce^(±2x)
x=0时，y=0, t=0,代入得：C=1
故有：[1+√(1-e^(-2y))]/[1-√(1-e^(-2y)) ]=e^(±2x)
详细解答如下：
定义 如果函数f(x)与F(x)定义在同一区间 ，并且处处都有
F’(x)=f(x)
则称F(x)是f(x)的一个原函数。
在区间[-1，1]上，有f(x) = 1，则
F(x) = ∫f(x)dx + C = x + C
∵F(x)满足F(0) = 1
∴F(0) = C = 1
在区间(-∞，-1)∪(1，∞)上，有f(x) = x^2，则
F(x) = ∫f(x)dx + C = x^3/3 + C
所以
F(x)=
x +1，当x在区间[-1，1]上
或
x^3/3 +1，当x在区间(-∞，-1)∪(1，∞)上