自然数的定义、整数、有理数、实数的定义
答：自然数：数学研究的基本对象之一。人类在实践中用以表示
事物个数或给事物编序的数目，即1，2，3，4，…，称为自然
数，也称正整数。它是从1开始逐次加1而得到的。
整数：正整数、零、负整数统称为整数。其中正整数就是自然数。
正整数的相反数，即 -1，-2，-3，…，称为负整数。零，记
作0，是整数系统中一个重要的数，它介于正数与负数之间的唯
一的数，是正数与负数的分水岭。它既不是正数，也不是负数，它
是一个中性的数。它不是人们在计数牛羊时自然产生的，因此不属
自然数，它是人类抽象思维的产物。
有理数：整数和分数统程为有理数。任何一个有理数都可以表为
m/n的形式，其中m是整数，n是正整数。由于整数可以用分数表
示，分数又可以化成小数或无限循环小数，因此有时也称有理数
为有限小数和无限循环小数。有理数对四则运算自封，即对有理
作四则（+、-、x ÷)运算，只能产生有理数。
无理数：无限不循环小数谓之无理数。任何无理数都不能表成两
个整数之比。或简单说成“任何无理数都不能表成分数”，这里
的“分数”是指整数分数，如果分子或分母上有无理数，则称为
“无理分数”。
实数：有理数和无理数统称为实数。
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自然数（natural number），是非负整数（0, 1, 2, 3, 4……）。认为自然数不包含零的其中一个理由是因为人们在开始学习数字的时候是由“一、二、三…”开始，而不是由“零、一、二、三…”开始, 因为这样是非常不自然的。
自然数通常有两个作用：可以被用来计数（如“有七个苹果”），参阅基数；也可用于排序（如“这是国内第三大城市”），参阅序数。
自然数组成的集合是一个可数的，无上界的无穷集合。数学家一般以N来表示它。自然数集上有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数。也可以作减法或除法，但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。
自然数是人们认识的数系中最基本的一类。为了使数的系统有严密的逻辑基础，19世纪的数学家建立了关于自然数的两种理论：自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。自然数的加法、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。
在全球范围内，目前针对0是否属于自然数的争论依旧存在。在中国大陆，2000年左右之前的中小学教材一般不将0列入自然数之内，或称其属于“扩大的自然数列”。在2000年左右之后的新版中小学教材中，普遍将0列入自然数。