抛物线的切线方程,抛物线切线方程的推导过程

y²=2px是圆锥曲线方程抛物线方程,但不是函数,由x轴分成的两部分是函数,且两个对应的反函数合起来是一个函数,即y=x²/(2p),

抛物线的切线方程,抛物线切线方程的推导过程

它也是抛物线,且与抛物线y²=2px关于直线y=x对称;

抛物线的切线方程,抛物线切线方程的推导过程

设抛物线y=x²/(2p)上任一点为M(x0,x0²/(2p));

由该抛物线图像可知,其上任一点的切线都不可能与y轴平行,

即其上任一点的切线斜率都存在,设过M点的斜率为k,

则其切线方程为y-(x0²/(2p))=k(x-x0);

联立y=x²/(2p),消去y得:(1/(2p))x²-kx+(kx0-(x0²/(2p)))=0;

则Δ=(-k)²-4(1/(2p))(kx0-(x0²/(2p)))=0,

化简得k²-2(x0/p)k+(x0²/p²)=0,解得k=x0/p;

教你一种简单快速的方法:

1.求出这点到焦点的距离(可以用两点间距离公式,也可利用到准线的距离间接求得,总之第一步的计算量可以忽略)

2.在抛物线的对称轴上找一点,使得这点到焦点的距离与第1步求得的距离相等(这样的点有两个,取抛物线外的那点)

3.求过已知点和你第二步求得的点的直线,这条直线就是所求切线

这种方法的原理实际上运用了抛物线的光学性质,即:过抛物线上任一点A,作准线的垂线,垂足为B,连接A与焦点F , 则过A的切线为角BAF的平分线

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